Équations (1) - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes.

1. \((z+2i)^4=1\)

2. \(z^6=8\)

3. \(z^5=243\)

4. \((z-1+4i)^7=1\)

Solution

1. Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,
\(\begin{align*}(z+2i)^4=1& \Longleftrightarrow z+2i \in \mathbb{U}_4\\& \Longleftrightarrow z+2i \in \left\lbrace 1 \ ; i \ ; -1 \ ; -i \right\rbrace\\& \Longleftrightarrow z \in \left\lbrace 1-2i \ ; -i \ ; -1-2i \ ; -3i \right\rbrace\end{align*}\)
donc \(S= \left\lbrace 1-2i \ ; -i \ ; -1-2i \ ; -3i \right\rbrace\) .

2. Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,
\(\begin{align*}z^4=6 \Longleftrightarrow z^6= ( \sqrt{2} )^6\Longleftrightarrow\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^6=1& \Longleftrightarrow \frac{z}{\sqrt{2}} \in \mathbb{U}_6\\& \Longleftrightarrow \ \frac{z}{\sqrt{2}} \in\left\lbrace 1 \ ; e^{\frac{i\pi}{3}} \ ; e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; -1 \ ; e^{\frac{4i\pi}{3}} \ ; e^{\frac{5i\pi}{3}} \right\rbrace\\& \ \Longleftrightarrow \ z \in \left\lbrace \sqrt{2} \ ; \sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{3}} \ ; \sqrt{2}e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; -\sqrt{2} \ ; \sqrt{2}e^{\frac{4i\pi}{3}} \ ; \sqrt{2}e^{\frac{5i\pi}{3}} \right\rbrace\end{align*}\)
donc \(S= \left\lbrace \sqrt{2} \ ; \sqrt{2}\text e^{\frac{i\pi}{3}} \ ; \sqrt{2}\text e^{\frac{2i\pi}{3}} \ ; -\sqrt{2} \ ; \sqrt{2}\text e^{\frac{4i\pi}{3}} \ ; \sqrt{2}\text e^{\frac{5i\pi}{3}} \right\rbrace\) .

3. Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,
\(\begin{align*}z^5=243 \Longleftrightarrow z^5= 3 ^5\Longleftrightarrow\left(\frac{z}{5}\right)^5=1& \Longleftrightarrow \frac{z}{3} \in \mathbb{U}_5\\& \Longleftrightarrow \ \frac{z}{3} \in\left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{5}} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{5}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{5}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{5}} \right\rbrace\\& \Longleftrightarrow z \in \left\lbrace 3 ; 3\text e^{\frac{2i\pi}{5}} \ ; 3\text e^{\frac{4i\pi}{5}} \ ; 3\text e^{\frac{6i\pi}{5}} \ ; 3\text e^{\frac{8i\pi}{5}} \right\rbrace\end{align*}\)
donc \(S= \left\lbrace 3 \ ; 3\text e^{\frac{2i\pi}{5}} \ ; 3\text e^{\frac{4i\pi}{5}} \ ; 3\text e^{\frac{6i\pi}{5}} \ ; 3\text e^{\frac{8i\pi}{5}} \right\rbrace\) .

4. Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) ,
\(\begin{align*}(z-1+4i)^7=1& \Longleftrightarrow z-1+4i \in \mathbb{U}_7\\& \Longleftrightarrow z-1+4i \in \left\lbrace 1 \ ; \text e^{\frac{2i\pi}{7}} \ ; \text e^{\frac{4i\pi}{7}} \ ; \text e^{\frac{6i\pi}{7}} \ ; \text e^{\frac{8i\pi}{7}} ; \text e^{\frac{10i\pi}{7}} ; \text e^{\frac{12i\pi}{7}} \right\rbrace\\ & \Longleftrightarrow\left\lbrace 2-4i \ ; 1-4i+\text e^{\frac{2i\pi}{7}} \ ; 1-4i+\text e^{\frac{4i\pi}{7}} \ ; 1-4i+\text e^{\frac{6i\pi}{7}} \ ; 1-4i+\text e^{\frac{8i\pi}{7}} ; 1-4i+\text e^{\frac{10i\pi}{7}} ; 1-4i+\text e^{\frac{12i\pi}{7}} \right\rbrace\end{align*}\)
donc \(S= \left\lbrace 2-4i \ ; 1-4i+\text e^{\frac{2i\pi}{7}} \ ; 1-4i+\text e^{\frac{4i\pi}{7}} \ ; \ ; 1-4i+\text e^{\frac{6i\pi}{7}} \ ; 1-4i+\text e^{\frac{8i\pi}{7}} ; 1-4i+\text e^{\frac{10i\pi}{7}} ; 1-4i+\text e^{\frac{12i\pi}{7}} \right\rbrace\) .